以sin()为例,sin(4x), sin(0.2x)有不同的周期「0.5pi和10pi」,一般人们只关注周期变化本身。然而我今天的一次偶然探索发现他们的单位弧长(一个周期的胡长)竟然是相同的!

具体方法是:用它生成一个有限信号(比如n秒的),然后基于每两个信号单位间隔为1进行数值积分,也就是把y值的变化加起来(要用绝对值),然后除以频率和长度的乘积。这么做是通过很多个周期取平均值,减小误差。

理论知识可以看 1 2

代码及讨论传到了

提炼一下:
1 椭圆积分(求解弧长的关键因素,见参考)没有解析解,只有近似的数值解。
2 这个问题的意义:首先显示了数学知识的完备性要求,数值分析在高阶的数学是与其他方法交融在一起的,它不是与符号解平行存在的,这对我之前的模糊认识是一个纠正。第二椭圆积分之类的东西在图像处理、数据分析等领域用于解决近似值问题,也就是说跟统计方法是相通的。然而学习曲线是非常陡峭的。

参考
[1] https://math.stackexchange.com/questions/45089/what-is-the-length-of-a-sine-wave-from-0-to-2-pi
[2] 椭圆没有周长?!https://zhuanlan.zhihu.com/p/60497494
[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E5%AF%86%E7%A0%81%E5%AD%A6

是说函数sin(4x)sin(4x)和函数sin(x/5)sin(x/5)这两个函数的一个周期的弧长相同呢还是只是其中一个函数的任意一个周期内弧长相同呢?
(因为前者肉眼看上去好像不太可能所以我猜应该是后者?hhhh 😅

后者的话只用大一高数的知识应该也可以证明到,对于以T为周期的连续函数f(x):
aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx

    Tover 这两个函数的一个周期的弧长相同

    当然是前一个,后一个是周期函数本身的定义==。

    确实肉眼看上去不太可能,非光滑的周期函数比如锯齿、三角形函数你可以想象周期越长,“拉得越长”,但这在正余弦函数上失效了。这可以作为感性理解“超越函数”的特征的素材。

      NTL01 好吧我的
      PS: 感觉用公式表达一下的话会清晰点,反正站长也把latex搭好了hhhh (tao

      NTL01 如果我没理解错的话,依照您的逻辑可以推广出 sin(ax)和sin(bx)同一周期弧长相等(a!=b)。然而事实上两者不应相等,例如sin(ax),当且仅当a趋向于无穷大时,一个周期弧长应趋向于无穷大,而sin x 一个周期的弧长显然是是一个定值,故推广应该是错误的,得证sin4x 和 sin0.2x 两者同一周期弧长不应相等。(手机回复有点麻烦,将就着看吧

        feng
        如果你用积分的思想去算的话甚至会发现弧长是0!(滑稽.jpg
        一个周期内的话一半正一半负刚好抵消了hhhh

        • feng 回复了此帖

          feng 当且仅当a趋向于无穷大时,一个周期弧长应趋向于无穷大

          后一个“无穷大”你想表达的是无穷小吧?这种情况的确适用与锯齿型函数,这种函数的单位弧长确实是随着频率变化。

          这个跟上一帖回复一样,正弦函数是光滑的,可以像伸面条一样在各个地方变化,这个情况反映的是“无穷小”基础上的数学体系跟计算机数值表达之间的复杂关系。

          feng sin x 一个周期的弧长显然是是一个定值

          什么类似的定值?我提到了有符号解,要用一个作为椭圆积分的东西,算符号意义上的定值,但存在数值(代数数)上的定值吗?

            NTL01 你可以认为没有精确解,但不能认为没有定值,不然就是离散的。

              NTL01 a趋向于无穷大时,弧长确实趋向于无穷大,这是显而易见的吧,sin ax弧长起码大于4*a(当a大于等于1时),a小于1也一样的原理。也许你想表述的是面积?(我数学tcl,暂时给不出严谨的证明思路

              hsxfjames 不然就是离散的

              我没说它是离散的吧,lol,但计算机基于二进制而形成的数字表达系统说到底是离散的,参考那个计算机代数系统的数学原理研究mathematica实现原理。

              怎么定义定值是个问题?从计算机角度,只能接受4、4.20000012032这种,1/3无限循环小数都不行。

              正弦函数跟幂函数-代数函数的基本相同之处是可以无限求导,但最大的差别是,它无限求导之后导数永远不为常数(0),类似地其他超越函数也是这种情况比如e、log,所以这种超越函数围成的图形面积和弧长都不可能有代数数定值。

              但椭圆为什么面积是(代数数)定值而周长没有代数解呢?因为虽然计算面积的公式可以化成基于x或y的一元有限可导函数,但算周长/弧长时候求的是二元函数而且是无论微分几次导数都不变成定值0的。

              feng
              导个数再积,sin(kx)sin(kx)的导数是kcos(kx)kcos(kx)周期也是2π/k2\pi/k,也是三角函数吧 🤔
              不过这样好像就是两端点相减了?不过这样好像是算位移的,算了,我数学也tcl,溜了溜了

              不清楚什么平台算的,但应该是用最简单的数值积分进行的,不适用于超越函数,自然也没有正确结果。

              还是以原文参考的前两个为准,你可以看看正确的计算方法是什么。

                NTL01 = =这个是 wolfram alpha ,你可以给它提 bug ,因为我没钱买 pro 所以就不验证 step-by-step 了。
                实际上椭圆积分是可以级数展开[1]的,当然了您确实可以认为近似解不是正确结果。。。

                ArcLength[Sin[4x]]

                [1]胡绍宗.椭圆积分的计算及其应用[J].大学数学,2013,29(01):111-116.

                临睡前试了下求通解,贴一下最新发现(当然都是通过 WolframAlpha 求解的,我并不会证明,如果不认可它的自动计算就无须看下去了)(希望哪位高人可以提供下证明呢 233 )

                ArcLength[sinax,{x,0,2πa}]=02πa1+(ddxsinax)2dx=2[E(a2)+a2+1E(a2a2+1)]a=40π2a1+(ddxsinax)2dx=4a2+1E(a2a2+1)a\begin{aligned} \text{ArcLength}[\sin{ax}, \{x,0,\frac{2\pi}{a}\}] &=\int^{\frac{2\pi}{a}}_{0}\sqrt{1+(\frac{d}{dx}\sin{ax})^2}dx &&=\frac{2[\text{E}(-a^2)+\sqrt{a^2+1}\text{E}(\frac{a^2}{a^2+1})]}{a} \\ &=4\int^{\frac{\pi}{2a}}_{0}\sqrt{1+(\frac{d}{dx}\sin{ax})^2}dx &&=\frac{4\sqrt{a^2+1}\text{E}(\frac{a^2}{a^2+1})}{a} \end{aligned}
                Integrate[Sqrt[1 + a^2 Cos[a x]^2], {x, 0, 2 (Pi/a)}]WolframAlpha
                Integrate[Sqrt[1 + a^2 Cos[a x]^2], {x, 0, Pi/(2 a)}]WolframAlpha



                简单点,我们的 a 是实数就够了。通过观察上述定积分结果式分别在 (0,1](0, 1][1,100][1, 100] 的图像猜测这玩意应该收敛:

                Plot[(2 (EllipticE[-a^2] + Sqrt[1 + a^2] EllipticE[a^2/(1 + a^2)]))/a, {a, 0, 1}] WolframAlpha



                Plot[(2 (EllipticE[-a^2] + Sqrt[1 + a^2] EllipticE[a^2/(1 + a^2)]))/a, {a, 1, 100}] WolframAlpha



                于是继续暴力求极限:


                Limit[(2 (EllipticE[-a^2] + Sqrt[1 + a^2] EllipticE[a^2/(1 + a^2)]))/a, a -> Infinity] WolframAlpha

                然而这次提示标准数学函数中无结果,且不能给出逐步解,令我十分怀疑是真的算对了还是置信区间内猜的。。。
                但如果它是完全正确的,那么可以说明当 a 足够大时,可以认为周期相近的两个正弦函数的单位周期弧长近似相等


                Edited: 用正弦函数的对称性(读者自证不难)简化公式后,我自己就可以推出极限!(省略的定理见微积分课本)
                lima+4a2+1E(a2a2+1)a=4(lima+a2+1a2)(lima+E(a2a2+1))=4E(lima+a2a2+1)=4E(1)=4\begin{aligned} \lim_{a\to+\infty}{\frac{4\sqrt{a^2+1}\text{E}(\frac{a^2}{a^2+1})}{a}} &= 4 \bigg(\lim_{a\to+\infty}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2}}}\bigg) \bigg(\lim_{a\to+\infty}{\text{E}(\frac{a^2}{a^2+1})}\bigg) \\ &= 4 \text{E}\Big(\lim_{a\to+\infty}{\frac{a^2}{a^2+1}}\Big) \\ &= 4 \text{E}(1) \\ &= 4 \end{aligned}



                结论有点反直觉,但可以瞎解释:当 a 趋于无穷大,周期无穷小,单位周期内正弦函数图像近似于四个长为 1 的直线段。
                (当然了严格数学语言并不能这么说,以上所有文字叙述都是错的)

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