“其实就是个泰勒公式”，虽然本科大一里泰勒公式（好像？）没怎么详细讲，但其实求极限时用到的话可以简化大量的工作，甚至可以实现秒解（？？？
泰勒公式的其中一种形式大概长这个样子——设
[imath]f(x)[/imath]
在点
[imath]x_0[/imath]
处n阶可导，则存在
[imath]x_0[/imath]
的一个邻域，对于该邻域的任意点有：
[math]
f(x) = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}x^i + o((x-x_0)^n)
[/math]
其中
[imath]f^{(n)}(x_0)[/imath]
即
[imath]f(x)[/imath]
在
[imath]x=x_0[/imath]
处的n阶导（书上应该有讲这个吧- -），
[imath]o((x-x_0)^n)[/imath]
即平时用来算时间复杂度的那个o类似，又叫佩亚诺余项，因为有
[imath] x \to x_0[/imath]
，即
[imath] (x-x_0) \to 0[/imath]
，所以当
[imath] (x-x_0)^n[/imath]
里的n越大时，整项就越接近0，所以后面的东西就越可以忽略（大概这个意思吧- -）。
特别地当
[imath]x_0 = 0[/imath]
时又叫麦克劳林公式（通常这个会用得多一点，因为上面的还有点复杂）：
[math]f(x) = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i + o((x)^n)[/math]
看上去还是挺复杂得，来些例子吧，比如题目里得
[imath]sinx[/imath]
和
[imath]cosx[/imath]
，（注，下无特殊说明都是
[imath]x \to 0[/imath]
的情况）：
[math]\begin{aligned}
sinx &= x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + ... \\
cosx &= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + ...
\end{aligned}[/math]
由于考研本科中研究的通常只到
[imath]x^4[/imath]
，所以就是：
[math]\begin{aligned}
sinx &= x - \frac{1}{3!}x^3 + o(x^3) \\
cosx &= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
可以代公式算一下是不是这样，然后怎么用呢，比如应该人人都很熟悉的（？？？）
[math]sinx \sim x[/math]
为什么会有这东西呢，因为
[math]sinx=x+o(x)[/math]
而且在某些情况下，
[imath]o(x)[/imath]
可以被省略，当然如果在
[imath]o(x^3)[/imath]
可以被省略的情况下就可以写成：
[math]sinx=x- \frac{1}{3!}x^3+o(x^3)[/math]
这时就会有
[math]sinx \sim x - \frac{1}{3!}x^3[/math]
所以如果大一教高数的老师比较负责任的话应该都会提过，有些情况下
[imath]sinx \sim x[/imath]
会失效。
然后，怎么分辨什么时候用哪个，就要看一下分子/分母，正常来说应该是搞到分子分母同阶，用人话讲就是分子和分母中的指数n最小时的那个n相等，如
[imath]x^3[/imath]
和
[imath]3x^3+4x^4+5x^5+...[/imath]
，因为求极限时分子分母也只用拿最高阶的来比，而
[imath]x \to 0[/imath]
时n越小阶越高（另外如果发现分子分母里最高阶不是同阶的话就是直接
[imath]0[/imath]
或
[imath]\inf[/imath]
了，但这样考会偏容易了，所以通常会凑到同阶，然后算出是个常数）
第一个栗子：
[math]\begin{aligned}
&\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} \\
= &\lim_{x \to 0} \frac{x+o(x)}{x} \\
= &\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
\end{aligned}[/math]
第二个栗子：
[math]\begin{aligned}
&\lim_{x \to 0} \frac{x-sinx}{x^3} \\
= &\lim_{x \to 0} \frac{x-(x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3))}{x^3} \\
= &\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6}x^3}{x^3} = \frac{1}{6}
\end{aligned}[/math]
如果误用了
[imath]sinx \sim x[/imath]
的话求出的是0，但这答案是错的。
引用句名言（滑稽.jpg
狗-sin狗 ~ 六分之一狗的三次方。
——张宇
然后，前情(fei)提要(hua)就讲完了，看题
[math]\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{sin^2x} - \frac{cos^2x}{x^2} \right)[/math]
整理一下：
[math]\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2-sin^2xcos^2x}{x^2sin^2x} \right)[/math]
如果用泰勒公式的话就要先算出
[imath]x^2-sin^2xcos^2x \sim ?[/imath]
和
[imath]x^2sin^2x \sim ?[/imath]
这东西可以直接代泰勒公式或麦克劳林公式算，但这样做的话发现求这个东西的n阶导和用多次洛必达法则那样很容易搞出人命...，观察一下就会发现其实lim里面的东西是
[imath]x[/imath]
、
[imath]sinx[/imath]
和
[imath]cosx[/imath]
经过四则运算得来的，所以就想，可不可以通过泰勒公式+四则运算的方式算出这个？
首先先把
[imath]sinx[/imath]
和
[imath]cosx[/imath]
先展开到
[imath]o(x^4)[/imath]
，因为要同阶嘛，至于为什么是4，因为大多数情况下展到4就可以看出东西了，而且计算量不会太大（即展开的更高计算出来的可能只是白费力气），如果不行的话才考虑更高的数；而
[imath]x[/imath]
因为太简单了就不用展开了吧（？？？）。其实上面也写过了，复制一下：
[math]\begin{aligned}
sinx &= x - \frac{1}{3!}x^3 + o(x^4) \\
cosx &= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
先提一下用到的小o的运算法则（直接抄书，证明可以脑补，应该还挺直观的）：
[math]\begin{aligned}
o(x^m) \pm o(x^n) &= o(x^{min(m,n)}) \\
o(x^m)*o(x^n) &= o(x^{m+n}) \\
x^m*o(x^n) &= o(x^{m+n})
\end{aligned}[/math]
所以，拿
[imath]sin^2x[/imath]
做个例子的话就是：
[math]
sin^2x \sim (x - \frac{1}{3!}x^3 + o(x^4))^2
[/math]
其实根据上面的运算规则，
[imath]o(x^4)[/imath]
乘上任一项都是
[imath]o(x^4)[/imath]
（注，上面说了展开到
[imath]o(x^4)[/imath]
就够了），所以可以减少点运算量：
[math]\begin{aligned}
&sin^2x \sim (x - \frac{1}{3!}x^3)^2 + o(x^4) \\
&\sim x^2 + 2*(-\frac{1}{3!})x^3*x + (- \frac{1}{3!}x^3)^2 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
然后因为
[imath](- \frac{1}{3!}x^3)^2 = o(x^6) = o(x^4)[/imath]
，即这项可以不用算了，下面过程也是，指数n高于4的项都可以直接写成
[imath]o(x^4)[/imath]
，即
[math]
sin^2x \sim x^2 - \frac{1}{3}x^4 + o(x^4)
[/math]
同理也可以算出
[math]\begin{aligned}
cos^2x &\sim (1- \frac{1}{2}x^2) + \frac{1}{24}x^4 +o(x^4) \\
&\sim 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x^4 + o(x^4) + \frac{1}{24} + o(x^4) \\
&\sim 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
然后
[math]\begin{aligned}
&sin^2xcos^2x \\
\sim &( x^2 - \frac{1}{3}x^4)*(1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4) + o(x^4) \\
\sim &x^2 - x^4 + o(x^4) - \frac{1}{3} + o(x^4) \\
\sim &x^2 - \frac{4}{3}x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
所以对分子来说就是
[math]\begin{aligned}
&x^2-sin^2xcos^x \\
\sim &x^2 - (x^2 - \frac{4}{3}x^4) + o(x^4) \\
\sim &\frac{4}{3}x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
对分母就是
[math]\begin{aligned}
&x^2sin^2x \\
\sim &x^2*(x^2 - \frac{1}{3}x^4) + o(x^4) \\
\sim &x^4 + o(x^4)
\end{aligned}[/math]
然后代回去就出答案了
[math]\begin{aligned}
&\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2-sin^2xcos^x}{x^2sin^2x} \right) \\
= &\lim_{x \to 0} \left( \frac{ \frac{4}{3}x^4 + o(x^4)}{ x^4 + o(x^4) } \right) \\
= &\lim_{x \to 0} \left( \frac{ \frac{4}{3}x^4)}{ x^4} \right) = \frac{4}{3}
\end{aligned}[/math]
之所以说是“更通用的方式”只是它不用根据不同的函数想不同的技巧而已，但好像还是要算挺多东西的 - -
（PS：最近发帖感觉自己越来越老营销号了。）
