前言
昨天hfctf的cubic（做完才知道是hfctf的- -，题名cubic也没有深究，看了小神师兄给的提示就直接怼了）。
题目是找6组正整数解（x, y, z）符合\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=6，好像是个挺古老的问题，而且有 点 意 思。这里讲一下解这个方程的一些思路（其实有些地方我是还没搞懂的🤣）。先放以下参考链接：
上面的参考链接已经讲的很具体了，以下只是对它们做一个总结：
正文
分几步讲一下做法：
1. 化简
看一个更通用的例子：
\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=n
两边同时乘上 (x+y)*(x+z)*(y+z) 后再化简一下得到一个更通用的格式：
x^3+y^3+z^3-(n-1)[x^2*(y+z)+y^2*(x+z)+z^2*(x+y)]-(2n-3)xyz=0
2. 映射到椭圆曲线
在上面等式中，可以找到一个一一映射，把（x, y, z）映射到（X, Y, Z）中，即X=a_{00}x+a_{01}y+a_{02}z, Y=a_{10}x+a_{11}y+a_{12}z, Z=a_{20}x+a_{21}y+a_{22}z,，使得:
X^3+a_4XZ^2+a_6Z^3-Y^2Z=0
整理一下，然后设Z=1（或者说是（\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}, \frac{Z}{Z}）？）就是常用的椭圆曲线格式Y^2=X^3+a_4X+a_6，也就是我没搞出来的Weierstrass form（把[2]和[4]看完应该就知道是怎么做的了，而且Sage的WeierstrassForm函数不太会用，用MAGMA的话是可以把这个映射也返回来的）
所谓一一映射就是：如果我能解出一组（X, Y, Z）的话，就可以解出一组（x, y, z）了，反之亦然。
3. 找椭圆曲线生成元P
如果（X, Y, Z）是在椭圆曲线上的话就要符合Y^2=X^3+a_4X+a_6这条等式（也就可以得出🍌🍎🍍的解），就是说找到一个生成元P后，只要不断地用P生成曲线上的点（i*P, i=1,2,...），就可以得到很多的解了。
同样，要找生成元的话就需要解上面的方程，找正整数解是难的，因为这个正整数解会非常大（见[1]的6.4节），但如果可以含负整数的话解可以非常小，就是说可以通过枚举的方法得到一组解(x_0, y_0, z_0)，然后做个映射就可以拿到一个生成元P=(X_0, Y_0)，枚举的代码见[1]的第5章开头。
不知道能不能用Sage找生成元，我应该试一下的（ 不能 用Sage的gens居然可以找到一个点😂
4. 找正整数解
按[1]的说法，正整数解会落在椭圆曲线的某个区域，但这个区域我就8知道他是怎么算出来的了- -，但从写代码的角度来看，既然知道了“那个一一映射”，就可以在每次循环时把（X, Y, Z）映射回（x, y, z）检查是否正整数就好了（吧）。
结语（随缘更新）
- Weierstrass form怎么算的还没搞出来 （据说是个旋转，要补下线性代数了
- 椭圆曲线上的正整数区域怎么算的还没搞出来 （上一个没搞出来的话这个应该也搞不出来吧