在《Introdution to linear algebra》第2章第2节的习题中看到的问题：

Question.jpg

在网上查找到的配套的答案为：

Answer.jpg

翻译过来就是，有一个3*3的矩阵，如果它第三行为前两行的线性组合，则该矩阵为奇异矩阵。我想问的是这个要怎么进行证明？我在这里给出自己的想法。

在第1章第3节中出现过奇异矩阵的定义：

Definition.jpg

Ax=0(此处的0为零向量)有多个解，若A是3*3矩阵，从它的column picture上看，我认为不难得出只有当“三个列向量同属一个平面或一条直线”时才会产生多解的情况。然后“三个列向量同属一个平面或一条直线”等价于“某列为另外两列的线性组合”。也就是说只要一个3*3矩阵满足“某列为另外两列的线性组合”就能得出“该矩阵为奇异矩阵”的结论。

所以，我打算通过“第三行为前两行的线性组合”——>“某列为另外两列的线性组合”——>“该矩阵为奇异矩阵”这样的逻辑来证明该问题。

然而.…我试着设了一下未知数，发现自己好像并不知道怎么去证明“第三行为前两行的线性组合”——>“某列为另外两列的线性组合”.…

希望来一个大佬帮忙想一想，或者说有其它别的更好的办法也希望能提出来。(话是这么说，但是超出第二章的内容我就看不懂了.…)

给个直观……但是不严谨的证明：
在二维平面中不可能有三个线性无关的向量……
（严谨证明忘了，逃～）

    如果你把这个矩阵看成三个列向量（相信你也是这么理解的），这三个向量是不是都是在第三个分量为0的平面上？这样的话，我们就可以从二维平面的角度出发思考这个问题（仅仅是类比，实际他是三维空间的一个平面）。在一个二维平面中，我们可以证明任意一个向量都可以被两个线性无关的向量所表示。
    （具体证明方法。。。。逃～

    不要想复杂了。“Ax = 0 有多个解”等价于“某一列为另两列的线性组合”。“有多解”意味“有非零解”。如果还不明白，可把Ax =0 展开。顺便问一下，你对“有唯一解”是怎么理解的？我猜你可能在这个点上理解不到位，否则应该不会问这个问题。

    两个建议：
    1、做一个“Column guy”，不要做“Row guy”。

    2、不要着急找答案。答案在大学的学习中属于非常不重要的部分，重要的是你在找答案时得到的训练。往往你找到的错误答案，比你Google或Baidu出正确的答案对你帮助更大。

      Bintou 对于3*3的矩阵A来说，从column picture上看，我理解到的“Ax=0有唯一解”的意思是“三个列向量不同属一个平面”，我觉得我理解的没有错吧.…

      为了节省讨论的时间，我假设我的理解是正确的，在此基础上有：

      “Ax=0有唯一解”——>“三个列向量不同属一个平面”

      它的逆否命题为：

      “三个列向量同属一个平面”——>“Ax=0有多解”(因为不可能无解)

      也就是说：

      “某列为其他两列的线性组合”——>“A为奇异矩阵”

      这个结论是可以一步一步推导出来的。但是我举出的题目给出的结论是：

      “某行为其他两行的线性组合”——>“A为奇异矩阵”

      这个我就不知道该怎么证明了，我发这个帖子就是想看看有什么好方法可以证明它。

      如果有什么说的不严谨或有错误之处希望Bintou老师能指出。

        “某行为其他两行的线性组合” implies 3*3Matrix（记为M）的Pivot数目少于3（高斯消元）；所以Mx = 0有非零解。证完。

        不理解高斯消元也没关系，就是中学里面的线性方程组求解。三个变量，三个线性方程，现在被砍掉了一个方程；两个变量，三个方程，必然非零解。所谓线性相关就是它。矩阵Pivot数目以后还会讲到。这里横看竖看，变化不少。

        关于“Ax=0有唯一解”。其实，在这里我更愿意看到的理解是：意味x=0。

        暂时说这么多了。如果还是不懂，当面问老师吧。

        献丑了，我不是线性代数老师。

          Bintou 顿然醒悟，我太过执着于从column picture来解决问题了，谢谢指点。

            8 个月 后

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