培养学生的数学素养
隐藏在CINTA教学背后的一种倾向:培养学生的数学素养。什么是素养?
借用这篇文章的说法:
具体说,一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中,常常表现出以下特点:
1、 在讨论问题时,习惯于强调定义(界定概念),强调问题存在的条件;
2、 在观察问题时,习惯于抓住其中的(函数)关系,在微观(局部)认识基础上进一步做出多因素的全局性(全空间)考虑;
3、 在认识问题时,习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化,用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶,效益是公司的泛涵等等。
在授课时,我常挂在嘴边的口头禅:抓住定义、瞄准目标、抓住常用的技巧和方法。能理解一个高深的、技巧性很强的证明固然很好,但是更加本质的是,懂得最普通的证明。偏巧,在这一点上,我课堂上的同学都普遍缺乏。所以,目前,我不期望我的读者非常优秀,只希望他们正常!这也是我上课的口头禅。“抓住定义、瞄准目标、抓住常用的技巧和方法”也具体落实到CINTA的内容编排上,可能大家看不到有非常精妙的证明(除了二次互反律的证明),其他都非常普通,而这种普通就是我希望自己学生能掌握的东西。
掌握数学的本质
什么是数学的本质?其中有两个要点我在CINTA中频繁强调:
- 寻找模式(规律)
- 创造数学的语言来表达模式(或规律)
讲解费尔马小定理、欧拉定理的证明就是对寻找模式的致敬,而让大家重新发明中国剩余定理,更是对这种思想的具体应用。在不同章节都有相应的“寻找规律”相关的习题,希望大家重点关注。
至于说到“数学的语言”,对新手而言,看上去就很玄。其实不然!无论是高等数学、线性代数、数论还是代数,都是数学家创造的一种语言,例子很多。比如:当我们想说明什么样的线性方程组会有唯一解,我们会想到”行列式“;反过来,当你不理解什么是行列式,那么我们的对话就有了障碍。我们为什么需要群?因为群、环、域都是我们常见的代数结构,比如,整数、有理数、实数等构成的代数结构,当我们需要强调某种特性的时候我们就选用不同的术语去称呼这些代数结构,从而使得交流清晰简洁无歧义。所以,学习CINTA除了训练数学思维,能让读者掌握一种数学的语言也是重点内容之一。希望大家在学习过程中可以深刻体会。