写作业的时候看到了顺手翻译分享一下。博客
余弦相似度和相关系数以及z-score之间的关系
向量
[imath]a[/imath]
和
[imath]b[/imath]
之间的余弦相似度只与他们之间的角度有关：
[math]cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\| \|b\|}[/math]
应用余弦相似度的时候，很多情况下向量都是非负的（比如文档中词项的频次向量）。在这些时候，余弦相似度也是非负的。
向量
[imath]x[/imath]
的“z-score”向量一般地定义如下：
[math]z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}[/math]
其中
[imath]\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i[/imath]
且
[imath]s_x^2=\overline{(x-\bar{x})^2}[/imath]
，分别是
[imath]x[/imath]
的均值和标准差。也就是说，
[imath]z_x[/imath]
是
[imath]x[/imath]
标准化之后的结果，是
[imath]x[/imath]
的标准化版本。
对于向量
[imath]x[/imath]
和向量
[imath]y[/imath]
，他们的相关性系数为：
[math]\rho_{x,y}=\overline{(z_xz_y)}[/math]
因而，如果一个向量
[imath]a[/imath]
的均值为0，那么它的方差为
[imath]s_a^2=\frac{1}{n}\lVert{a}\rVert^2[/imath]
。因此，其单位向量和z-score的关系为：
[math]\hat{a}=\frac{a}{\lVert{a}\rVert}=\frac{z_a}{\sqrt n}[/math]
所以，如果向量
[imath]a[/imath]
和向量
[imath]b[/imath]
是中心化的（也就是均值为0），那么它们的余弦相似度和它们的相关性系数是一样的。
太长不看：余弦相似度是向量方向上的单位向量的点积。而皮尔森相关系数是向量中心化后之间的余弦相似度。一个向量的"z-score变换"是将中心化的向量缩放到
[imath]\sqrt{n}[/imath]
大小。
Is there any relationship among cosine similarity, pearson correlation, and z-score?