厚颜无耻地问问这个积分怎么求

我很久没碰高数了，其实是yy的，感觉是对的而已，只要我积分中值定理那里用的没错就估计没什么问题

既然你厚颜无耻地问到了，那我也厚颜无耻地来水一下（对不对我也不知道）

其中：为了混淆符号把r换成了R；然后定积分求导不知道学校有没教；还有懒得打latex了enmm

PS：其实也不用厚颜无耻嘛

最严谨的做法当然还是用积分中值定理
$$\exist \zeta,\eta\in[0,r], \ \ \ I=\frac{1}{\pi r^2}\iint{e^{x^2-y^2}cos(x+y)} =\frac{1}{\pi r^2}\cdot e^{\zeta^2-\eta^2}cos(\zeta+\eta)\pi r^2\\$$当$r\to0$时，$\zeta,\eta\to0$，故
$$\lim_{r \to0}I=\lim_{r \to0}e^{\zeta^2-\eta^2}cos(\zeta+\eta)=e^{0}cos(0)=1$$
但我第一次看到这题的时候还不知道有积分中值定理，不过我还是想到一种略微不严谨但比较简单的解法

我们令$f(x,y)=e^{x^2-y^2}cos(x+y)$那么在$D:x^2+y^2=r^2$上的二重积分$\iint f(x,y)$实际上就是用以z轴为中心轴，半径为r的圆柱面去截被积函数所得的体积
当$r\to0$时，圆柱面截出的几何体即为一个圆柱体。可以这样理解，实际上r不趋于0时圆柱面截出的几何体上方不是一个圆平面，但是r趋于0时其上方为曲面无穷小的一块，并且在(0,0)处对x和y的偏导数都是0，因此可以视为平面。此时的圆柱体可以看作一条在z轴上的直线，底面与顶面分别汇聚成一个点，高为被积函数在(0,0)处的值。画个图帮助一下想象

接下来事情就变得很明显了，这个圆柱体体积除以$\pi r^2$就是圆柱体的高$f(0,0)$，所以原式的值就是$f(0,0)$

我看我们也有不少人在群里问老师这道题，当然答复就是积分中值定理（话说我们老师也没有讲过这样东西，我想得到用它？）

jmp_0x0
妙啊！第一眼没想到用中值定理(还是太naive了，躺)

而且题目给的πr^2就是D的面积了，也算是挺明显的提示了