最严谨的做法当然还是用积分中值定理
[math]
\exist \zeta,\eta\in[0,r], \ \ \
I=\frac{1}{\pi r^2}\iint{e^{x^2-y^2}cos(x+y)}
=\frac{1}{\pi r^2}\cdot e^{\zeta^2-\eta^2}cos(\zeta+\eta)\pi r^2\\
[/math]
当
[imath]r\to0[/imath]
时，
[imath]\zeta,\eta\to0[/imath]
，故
[math]\lim_{r \to0}I=\lim_{r \to0}e^{\zeta^2-\eta^2}cos(\zeta+\eta)=e^{0}cos(0)=1[/math]
但我第一次看到这题的时候还不知道有积分中值定理，不过我还是想到一种略微不严谨但比较简单的解法
我们令
[imath]f(x,y)=e^{x^2-y^2}cos(x+y)[/imath]
那么在
[imath]D:x^2+y^2=r^2[/imath]
上的二重积分
[imath]\iint f(x,y)[/imath]
实际上就是用以z轴为中心轴，半径为r的圆柱面去截被积函数所得的体积
当
[imath]r\to0[/imath]
时，圆柱面截出的几何体即为一个圆柱体。可以这样理解，实际上r不趋于0时圆柱面截出的几何体上方不是一个圆平面，但是r趋于0时其上方为曲面无穷小的一块，并且在(0,0)处对x和y的偏导数都是0，因此可以视为平面。此时的圆柱体可以看作一条在z轴上的直线，底面与顶面分别汇聚成一个点，高为被积函数在(0,0)处的值。画个图帮助一下想象
接下来事情就变得很明显了，这个圆柱体体积除以
[imath]\pi r^2[/imath]
就是圆柱体的高
[imath]f(0,0)[/imath]
，所以原式的值就是
[imath]f(0,0)[/imath]
我看我们也有不少人在群里问老师这道题，当然答复就是积分中值定理（话说我们老师也没有讲过这样东西，我想得到用它？）
