像学外语一样学数学

NTL01

数学可以视作一种语言： https://zhcn.eferrit.com/%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%98%AF%E4%B8%80%E9%97%A8%E8%AF%AD%E8%A8%80/

这个设想起源于我长期试图进入高等数学而受挫，以及近期的一些观察，比如学数学很难利用零散时间，数学知识很难分割和模块化，各术语、知识点直接的联系建立起来非常困难。

数学语言包括很多分支甚至不兼容的部分，比如昨天读到一篇利用晶格（lattice）来演绎量化系统（quantification）的文章：Information Physics: The New Frontier，作者使用一些运算符比如晶格上下界操作与晶格在计算机领域（参考南京大学的静态分析课程和对应的丹麦人的论著）的使用是不一样的，我去年自发想出了一个类似克莱尼（Kleene）代数的东西来建模程序，后来发现等同于利用晶格的表达，然而它们之间是有语言上的鸿沟的，就像我说汉语，对面一个人说阿拉伯语。

这种问题不是数学必须有特别学习方法的证据，而恰恰是数学可以像学外语一样的证据——基于情景。

我们理解数学本质上要与生活和物质世界的经验建立联系，尽管数学可以超过生活走向抽象，但“无，名天地之始；有，名万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其徼。此两者，同出而异名，同谓之玄”。抽象和具象是可以互相转化的，比如从小球在袋子里理解元素与集合的关系，从对称图形理解群的对称，从蛋白质等分子结构理解手性甚至宇称问题，抽象的概念常常是具体概念的一般化。

学习任何东西都是重新理解并建构知识系统的过程，对此要解决的问题包括：数学知识的模块化、可分割性、组合过程，把每个概念建立起对应的情景示例。

这个设想不只是学数学的问题，也是学编程的问题。

Miigon

Woo 我觉得楼主的意思是，以情景联想出对具象数学问题的思考。“疯狂做题”的学习方式对于掌握技巧有帮助，对于真正理解数学原理是否有帮助持比较怀疑。

Miigon

或许这里就体现了工科数学和理科数学的差异？不过我个人对数学不算学得很深入，这方面的见解应该不够深刻。

Bintou

我认同”数学是一门语言“这个结论，即认同为什么数学是一门语言这篇文章。但是我不认同楼主的解读，可能因为我认为那是一种过份解读。

群论，我认为就是一种很好的语言。比如，要解释RSA算法，如果没有群论的概念，也许我需要讲解的证明需要写满一张A4纸，但是如果用群论，也许只需要几行字。再具体一点，借用上面数论的图里面的概念。如果把$\phi(n)$理解为群$Z_n*$的阶，然后拉格朗日定理，已经证完RSA了。

类似的例子可以举很多。再举个例子。很多同学说，我又不做科研，为什么学这么多数学呢？如果把数学了解为交流用的语言，这种借口就不再成立了。没人让你做科研，只不过为了说话方便而已。

当然，反对这种观点的人也不少。我就在StackOverflow上见过一个老外对AES算法里面用到GF(2⁸)这种代数结构表示非常不满，大概意思是搞算法就搞算法，为啥要装逼用我不懂的数学。是不是装逼，这就看谁去认定了，没有定论，反正是尿不到一个壶里，因为没有共同语言：数学。

NTL01

Bintou 一般人都能容易理解语言（至少是表面含义），但很少人能理解数学。这是我解读的初衷，为什么数学那么难学难用？

你能不能把群论给四五岁小孩讲清楚？还是四五岁小孩能理解一些计算机的概念，但不可能理解群论？

Bintou

NTL01 这里包括两个问题，第一是难用；第二是必须用。不要拿四五岁小孩举例吧，因为四五岁小孩讲很多东西都讲不清楚。应该自信一点，很多人读完博士、做了计算机的教授，依然不能理解数学，也觉得数学难学难用。这是一个事实。没人会说数学容易。但是，一旦到了某个层次，你就发现离不开数学，没有数学很多概念讲不清楚，比如，高维空间。

关于没有数学讲不清的一个例子，我想重复多几次我听到过某院士的训诲：你们年轻人要有理想，要抓实务！做算法可以，但是不要搞那么多效率分析、效率证明那种虚无的东西。现在计算机那么便宜，多买几台，算什么都够快，不够就买几百台，值什么钱。

数学之所以难，无非还是因为训练少，各种原因导致训练少。一个人如果顺利，28岁读完博士，可能他的语言能力就训练了28年，但是数学的训练呢？不过区区几年而已，千万不要以为是十几年。如果训练少，然后抱怨数学没有日常语言那么容易学，那是不够客观的。

NTL01

Bintou

高维空间不是数学的代表，人类很早认识到了高维空间，从个体发育而言心理学方面也有研究，只是一般只有物理和数学才把它系统表达出来。但你提这个提醒了我一定要关注具体领域。

我没有“抱怨数学没有日常语言那么容易学”，而是我主张数学可以以一种更好的方式理解，它本质不难学，只是我们现有的学习方式和教育体系还很蹩脚，不足以适应真正数学学习的需要，导致事实上它难学。

关于那个院士的话，真实性不论，现在的务实难道不需要重视效率吗？为什么效率分析是虚无的东西？芯片设计的关键问题也跟效率有关。计算机真的便宜吗？如果不依赖国际分工全部自己生产成本会怎样？单纯增加计算单元就能加快计算速度吗？

Bintou

NTL01 恰恰相反，我认为数学本质上就是难学的，所以我并没有把谁抱怨与否作为考量。当然，我们现有的体系确实蹩脚，这就更加增加了难度，仅此而已。也正因为蹩脚，所以我们需要在这种体系下能把数学学好的人，反过来改变目前的现状。

作为一位上过数学课的老师，我知道目前的现状有多差。但是，我不认为完全是数学老师的错。也许是语文老师的错，或者是政治老师的错，或者是家长的错。

NTL01

Bintou

NTL01 如果你觉得我不平等，那绝对是误解。我道歉！说到底，我对你一无所知，我不想针对任何人。

NTL01

Miigon

作为一个旁观的人，我个人觉得@Bintou 提到自己是老师这件事的目的，不是为了“以论资排辈来压人”，而只是为了阐述自己的视角。

所以我觉得后面的互相攻击十分没有必要。本是本着交流学术，切磋观点的目的来到论坛，大家可以不接受甚至抗拒不同观点，但是大可不必攻击提出不同观点的人。

0x0001

Miigon 同感，仅仅是视角而已，我们社区本身也不强调身份与等级尊卑的概念，倒不用往那方面想的太多。

互联网这东西给了我们接触更多样的思想的机会，但也同时要求着我们更多的平静与包容，不然就只有去依赖那些封闭小圈子（比如微信）去满足需要了...（类似一种沉迷于某种同温层的感觉

Miigon

还是希望大家能尽量多一点包容，少一点仇恨。良好的氛围需要每个人的维护。