说在前面的话其实两个月前就想开这个讨论贴了虽然说现在这个学期是快结束了，但是线性代数的学习远没有结束，所以现在开帖也不迟嘛（顶锅盖逃主要是给19级的小伙伴咸鱼提供一个讨论的平台，当然也希望有别的级的大佬一起参与讨论：-D 现状 10月份的时候讲C的快速入门坟还有十几个人来讨论（听课），进入GSLA的学习之后来讨论的人数直线下降，连续两个星期只有三个人来讨论了。开这个帖子也是希望能有更多人关注到线代的学习，享受到学线代的乐趣。局限我们必须承认在线代的理解上我们还有非常多的不足。比如：在18.065的lecture 1里提到了一个A的CR分解，C中的列是A中的independent columns，这时R中是行空间的basis。这似乎再显然不过了，但是在我们整个学期的讨论中竟然没有提到过这种很基础很基础的分解形式，是不是也很能说明一些问题呢？如果我们能通过这种形式去理解为什么行空间与列空间维度相等，或者通过行秩等于列秩这一结论去推出A会有CR这种分解形式，是不是会有更深一步的收获呢？当然，CR分解这件事本身没什么令人震惊的，但我们学了一个学期居然没人想过这种很basic的idea，这比较让人震惊。大家如果有时间可以去看看18.065 lecture one，我相信你也会当场懵掉。不是因为难，而是因为这太基础了。除了思考深度外，还有一点就是讨论时间。每周仅有周六早上3个小时的讨论，三个小时内解决所有人一周内积累的所有问题，这似乎不大现实。如果说我们可以做到在三个小时内讨论完所有的题目，我想这更能说明的一点是，我们做题做太少了（逃）。所以开这个帖子也是希望大家在平时也可以讨论线代，为啥要憋着等到周六再来一起讨论呢？？（好吧，在这点上我要背锅最后其实说实话，哪怕只有三个人在讨论，我也觉得挺开心的而且有收获。但刚才提到的局限，哪怕仅在三个人中也是存在的，可能要思考如何去调整。另外，开这个帖子不是呼吁大家努力学习线代；事实上我只是想提醒那些正在学习线代并且想学好线代的同伴，我们现在可能面对一些之前未发觉的问题，需要作出改变和调整。而至于线代有没有用、有没有趣、需不需要认真学，大家都是成年人，自己判断吧。最最后下周是本学期最后一次讨论，暂定为recitation，有想讨论的知识点或题目可以跟帖马一下。一些学习资源 - mit 18.06 - mit 18.065 - library genesis 有很多参考书可以免费下载关于18.065：这是18年的课程，YouTube上有36期完整的视频，但是书可能暂时买不到；和18.06相比，新增了关于machine learning的内容；和18.06相比有不少重叠的知识，但是鉴于上18.065的学生中有一部分是已经学过18.06的，合理推测课程中对于我们熟悉的知识点可能还是会有和18.06不同的perspective，有时间的同学可以去康康。康完记得发帖分享补充参考 -《Linear Algebra with Applications》Steven J.Leon （狗东上可以买到第九版） - 《Introduction to Applied Linear Algebra》 Stephen Boyd / Lieven Vandenberghe 只读一本GSLA应该是不够的。

我先来带个头！下面整理了一些GSLA（v5）上的题目，不是什么难题，只是一个补充。很希望能有同学提出一些基础而不肤浅的问题，像CR分解一样，也许我们现在并不需要找一些很难的题目去锻炼我们的做题技巧，可能在学期的最末尾，我们需要沉下心来问自己一些看上去简单而显然的问题。 PS 3.5: T13：判断两个矩阵的四大基本子空间相同的方法是？或者说，什么东西能决定它们的四大基本子空间相同？似乎可以从basis出发。除此之外，能不能从子空间的封闭性的角度把（c）改成正确的proposition。 T30:整个学期都没有怎么讨论matrix space，和vector space相比有哪些特性？（忘了是在书上还是视频里有提到symmetry matrix space的维度问题，有点意思的，应用（微分方程）上也有意义 PS 5.2 T25:构造分块矩阵来证明是真的有点玄学。我们知道block和entry在矩阵乘法上表现得比较类似，但是在求行列式时就不那么类似了，也许我们可以从矩阵的entry有的性质出发去玩一下block的性质。毕竟作为Cser，我们知道有许多算法都用到了分块矩阵。 PS 6.2 T31:Cayley-Hamilton Theorem，提到了特征多项式，P（A）也挺神奇的。（P317最下面，又是分块矩阵的玄学构造难顶） PS 6.5 T32:提到了group PS 7.2 T18:建立了关于svd的直观理解后这应该是道送分题……？以上都不是什么难题，只是我觉得平时比较少讨论到这些问题上，补充一下整挺好嗷。只有这几个问题是因为我做的题太少了

A = CR 的一个具体实例。 1、A = [[2, 3, 5], [1, 1, 7], [3, 4, 12]]，把所有向量理解为列向量。很显然，A并不满秩，因为第一列加第二列等于第三列。 2、A的列空间C(A)等于什么？取第一列和第二列即可，所以，C = [[2, 3, 5], [1, 1, 7]] 3、A = C * R，现在已知A和C，R是什么？很容易看出（利用C的列组合），R= [[1,0], [0, 1], [1, 1]] 4、R是A的行空间的基吗？（反正我在这里犹豫了很久）直到Strang老先生提醒，R左乘C，是做行组合！验证，显然R=C(A T ). 这就是所谓的CR分解。A = CR，C与R有相同的Rank。 Not a big deal。开心就好。论坛的公式支持要提高啊，站长！ @0x0001

线代讨论课的思维碰撞：把奇妙的想法用严谨的方式证明书中的结论。比如相似矩阵的有相同特征值。更有意思的是在证明过程中还找到了相似矩阵的特征向量。

推荐一个知乎上的笔记，可供参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/28277072 完整版可看我收藏夹 https://www.zhihu.com/collection/439602529?page=3

Bintou 是指R的行向量是A的行空间的基吗？

还有一个想法与大家讨论一下。 MIT 18.06 有大量的Python代码来进行线性代数计算，甚至包括使用SVD进行Strang老师的照片进行压缩。我的问题是，大家会觉得这些Python代码对线性代数的学习有帮助吗？或者说，我们需要多少代码，不需要什么代码？我是非常提倡大家学数学的时候进行编程的。只是有一天我突然怀疑了起来，真的有一个软件，给定矩阵A，然后直接这样求行列式： A.determinant() 。这样的意义到底有多大？怀疑归怀疑，还是建议大家有空去玩一下那些代码的。

Cybsac 是的！这真的很妙，而且C是3x2，R是2x3，rank不就是2吗。而且其实再深挖一点，如果我们在学了rank-one matrix的形式后推广到更高维的情况，其实就是CR分解，只是当时我们没有再进一步。

Bintou 论坛的公式支持要提高啊，站长！近期安排上

线性代数讨论贴

lego

Bintou 首先，J和A有n个相同的特征值c，这比较显然，也就是他们有一样的AM。所以要说明J和A相似，只用说明J和A一样都只有1个eigenvector，也就是它们还有相同的GM就可以了。

对于一个Jordan Block，求它的eigenvector，就是求一个只有一条次对角线上有1的矩阵的0空间的基，显然这个只有一条次对角线上有1的矩阵的秩是n-1，所以零空间是一维的，即每个Jordan block只有一个eigenvector

QED

Bintou

lego 相同的AM和GM这说法不严谨吧？我第一次知道这个概念。然后，这句话实在不好读懂：求一个只有一条次对角线上有1的矩阵的0空间的基，显然这个只有一条次对角线上有1的矩阵的秩是n-1，所以零空间是一维的，能不能简化一下？

另外，J的零空间是一维能说明J的零空间的基与A相同吗？似乎也不严谨。

Cybsac

有点冷清~

Bintou

Cybsac 认真学习从来都不是大众狂欢。反过来说，热热闹闹的都要小心点。

lego

Bintou 相同的AM和GM我觉得没啥毛病啊…AM是eigenvalue的重复个数，GM是eigenvector的个数，设c是J的唯一eigenvalue，J-cI的零空间是一维的就说明J只有一个eigenvector，A也只有一个eigenvector，所以它们GM一样。GM和AM都只是关注个数而已。

至于J-cI的零空间为什么是一维的，因为它在次对角线上有n-1个1，其他所有位置上都是0，所以它的秩是n-1，即零空间是1维的。

lego

考完试就开始飘了，没怎么看书做题。今天更新一下第八章，第八章highlight个人觉得就是Jordan form和basis for function space（逃

P.S 8.1:
个人觉得T13-19挺有意思嗷，关于linear transformation的input and output
page415:
引入了一个“isometric”的概念：If Q1,Q2 are orthogonal , C=Q1^T AQ2 is isometric to A
So a matrix is isometric to its singular value matrix
page420
我们知道，可以找到matrix B let A=BJB^-1 ，这里说明了B的cols是A的generalized eigenvector
P.S 8.3:
T2-4:都是找generalized eigenvector的问题，420页看完之后其实还会有点懵，做几道题才能找到一些pattern（逃

lego

今天将题目整理了一下，发到Hackmd上了，如果有人要补充什么的话直接修改就好了，很方便，而且hackmd的大纲非常的舒服。以后同步更新。

DFT and FFT也放到hackmd上去了，今天更新了一部分，还没更完，希望下次更新能把它更完吧。

Latex鲨我：）

Bintou

lego 20年1月的帖子。。。知识点早忘光了吧？

Bintou

代码可以重用，讨论帖也可以重用的嘛。假装有很多人在讨论线性代数哟。。。。。。

0x0001

Bintou 那肯定，都属于一个话题，嘿嘿

Bintou

又到新生入学季，线性代数又开始咯！讨论起来！

Kartone

lego c+d+e=1那个，受网上解法启发，可以设三角形内部点为D，u的终点为A，v的终点为B，w的终点为C，原点设为O。DA, DB, DC共面，所以DA=mDB+nDC，有OA-OD=m(OB-OD)+n(OC-OD)，化简得(1-m-n)OD=-mOA-nOB+OC，本来又有OD=cOA+dOB+eOC嘛，一一对应就得到相加为1了。一开始我还以为是二维平面，淦。
By the way，现在还有线代讨论群吧，暑假想学起来，一个人怕遇到解决不了的难题 🥹

Bintou

Kartone 持续有效，只要有提问就会有回答，虽然不知道是不是答案:-D

qing3212

逛论坛的时候突然发现这样一个帖子，仔细读读发现好多不懂，自己学的好不扎实，自己做的笔记也只是流于表面，自愧不如啊

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