P.S 6.5 T32，不要害怕新名词，也不要等完整的代数课学完才接触group（群）。掌握以下几条群公理即可开始做题。群是一个元素集合G和一个运算符形成的抽象结构(G, *)。

  • 封闭性（close） forall a, b \in G, a*b \in G
  • 单位元 （identity） exists e \in G, s.t ea = ae = a, for any a \in G
  • 逆元 （inverse） for a \in G, exists a' s.t. aa' = a'a = e
  • 结合律 （associativity） a(bc) = (ab)c

拿到matrix来说，*就是矩阵乘法。对所有n × n 矩阵，一个显然事实就是，I是矩阵群的单位元。其次，矩阵A存在逆矩阵iff Det(A) != 0。封闭性，就需要验证两个行列式不为零的矩阵想乘所得的矩阵行列式是否不为0？ 这样的群有一个特殊的表示GL_n，称为一般线性群。GL_n有一个子群就是所有行列式值为1的n × n矩阵。

推广到正定矩阵、单位正交矩阵等则是你们的工作。就是围绕这几条公理进行验证。最后，矩阵乘法有结合律！

lego
6.3：
T 2：回代的解法感觉好像书上没看到，看了答案也不明白。
T 4：应用题：要怎么抓取题目信息找出合适的矩阵。
T 31：余弦矩阵有意思

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      矩阵乘法

      矩阵乘法通常有两种：列组合、行组合。大家知道以下这种乘法吗？

      矩阵乘法等于Rank One矩阵的Summation

      矩阵A * 矩阵B，将A的第i列与B的第i行相乘，得一个Rank one 矩阵，把所有得到的这些矩阵加起来。
      据说，这是一种体现线性代数内涵的乘法。

      关于斌头老师提到的那个rank-one分解，在GSLA的72页，个人感觉这个分解并不是一个很容易能看出来的操作。当然，展开之后我们可以验证这是正确的。

      另外，我在18.06的主页发现了一份selected questions，于是做了一下里面的一些题目。以下是Chapter 1里的一些题目。只做了Chapter 1

      • P.S 1.1
        T9:给出平行四边形的三个顶点，不用距离公式，能用向量的线性组合找出第四个顶点吗（将点看成向量）。这个线性组合具有普适性吗？

        T16、20、22:这三题内涵差不多。T20里问三个向量的线性组合满足什么条件会在虚线内的三角形里，答案是c+d+e=1，这感觉不显然啊？？有人能给一个论证🐎？

      • P.S 1.3
        T3:提到了个sum matrix，把前n个奇数作为输入，能输出n个完全平方数。说明了完全平方数的性质之一。
        T14:依然强调了行秩和列秩的关系，证明不难。

      前三章的题目做的不多，可以说是很少，今天做了一下发现我们以为基础的东西其实也不简单啊（小鹦鹉落泪.jpg）。

      还有一个可以重视一下的题型就是，前几天做final的时候发现，很多题目都是给定你一些条件，让你去构造符合这些条件的matrix。我一开始没重视这种题，觉得好像很简单很基础，没什么意思，后来慢慢感觉其实这些都是积累（特别是涉及到四大基本子空间的），而且matrix的类型也是线代里面重要的知识之一。所以还是要倒回去做一些这些题。

        drink_young T2的话可以去看看mit的highlight of calculus公开课第17集！！也是Strang老先生主讲（我太喜欢他了）。星期六可以讨论一下了。
        还有余弦矩阵，有余弦应该就有正弦，有了正弦余弦是不是就应该有欧拉了（滑稽逃

          明早本学期最后一次讨论，能把这个星期收集的问题都讨论清楚感觉就已经挺好的了。（有气无力

          以下是2.1～2.4的问题合集。

          • P.S 2.1:
            T14:有一段时间没去想Ax=b的问题了，不知道为什么我一直以为x_particular一定在row space里面……然后，问一个非常愚蠢的paradox，在这个问题里面，我有一个x_particular和三个x_special，显然这四个向量线性无关，那为什么我的解空间是3D的而不是4D的（真的很简单的一个问题，居然还想了我蛮久的

            T29:之前讲Markov matrix的时候我好像忘了说Markov matrix的power也是Markov matrix。证明的话可以用到斌头老师昨天补充的那个rank-one pieces的加法，或者有什么更直观的证明方法可以跟帖说一下？

          • P.S 2.3
            T30:GL_n有一个det=1的子群的实例

          • P.S 2.4
            T11:我没搞懂题目里面的col operation和row operation指的啥，随便换了两行两列感觉不太对劲
            T16:关于乘法次数，作为Cser还是要知道的
            T22: D、E都是保长度的正交矩阵，涉及旋转，我觉得这题的几何直观要建立起来（我自己有点懵
            T37:给出了结合律的证明

          🐎一下Problem set 2.5-2.7的一些问题：

          • PS 2.5:
            T43:提到了Schur complement,但是没有说明白是什么的complement，和Schur分解有联系🐎

          • PS 2.6:
            T15:昨天吵了很久为什么对称矩阵L=UT， 这里给出了LDU分解的唯一性的证明，用LDU分解的唯一性去证L=UT 还是比较显然的（捂脸）。要关注一下各种分解的唯一性了。drink_young
            T22:constant-diagonal matrix,🐎一下

          • PS 2.7:
            T14:reverse the order of diagonal的操作，🐎一下
            T18:纠正一个东西！！antisymmetric和skew-symmetric是同一个东西，而且它们对角线上元素都为0（捂脸）drink_young
            T26:对称矩阵的快速消元，🐎一下
            T31:没看懂这题意思，但直觉告诉我这道题挺有内涵
            T34:LS分解：一个方阵可以被分解为一个下三角和一个对称矩阵，看到对称矩阵，先🐎一下再说

          我真傻，真的，我应该把帖子开在博客区而不是综合讨论区：-D

                0x0001 hhhhhh前面还有一点讨论 后来就是个（自）人（言）博（自）客（语）了🌚

                    lego 没事没事，挺好！我自言自语十几年都这样，没事，挺好。不自怨自艾就好，哈哈哈。

                        Bintou 个人趣味嘛 我们这种不务正业的落后分子从来不会因自言自语而自怨自艾（滑稽逃

                          Strang 5.2节:23题

                          对于矩阵分块后求行列式有点难以理解，题目是想说明对于矩阵分块后求行列式没有固定的算法吗？
                          对于（a），C=0时原矩阵的det=|A||D|也没搞懂是怎么来的。

                          能解答一下吗？

                            Cybsac
                            （a）的话，因为左下角是0，对矩阵消元的话可以发现A、D的主元就是矩阵的主元，所以det=｜A｜｜D｜。但是（b）的话左下角不为0，把C消去其实就是下面25题那个schur complement，所以矩阵的det=｜A｜｜D-CA-1 B｜！=｜A｜｜D｜-｜C｜｜B｜

                            至于更高效的算分块矩阵的行列式的方法，我也很好奇∠( ᐛ 」∠)＿

                                lego 想听听你如何用几何直观理解QR分解。GSLA当中我看没有解释得很清楚。很多书都认为从Gram-Schmidt出发到QR分解是直接的。当然，我不能说不直接，只是可能从Gram-Schmidt到QR分解还有一个小小的gap？

                                有一种说法，QR分解记录了Gram-Schmidt的过程，我有点不认同（还是这句，我也不能说他不对）。相反，如果从Gram-Schmidt的结论出发得到QR分解更容易理解。我想先听听你的看法。

                                • lego 回复了此帖

                                    lego 了解了，但25题想表达的应该是|A B| = |A||D|-|B||C| 当且仅当AC=CA时成立。也就是说这种算法必须
                                    |C D|
                                    当A、C至少为方阵才有讨论的余地。

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