lego Bintou 我个人理解是，QR分解是一个很“一步一步”来的分解过程（也就是书上238页说的“Later q‘s are not involved）。直观上是我已经有了几个（一个）单位正交基，也就是我有了一个子空间，然后我需要找到下一个列向量垂直于这个子空间的那一部分分量，做法就是减去这个列向量在子空间内的投影…至于那个R的形式，其实我觉得说记录Gram-Schmidt过程好像也没错，我觉得R是在记录列向量在子空间中的分量。
Bintou lego QR分解大致上表达是这样： [ a_1 a_2 a_3 ... a_n ] = [ q_1 q_2 ... q_n] * R, 其中a_i 是原始矩阵的列，q_i是正交规范向量，R是什么？ 我这样理解： 1、a_i 是q_i 的线性组合； 2、所以，a_i 可以表达为a_i投影到q_i 上的不同不同向量的组合； 3、例如：a3 = q1* q1T a3 + q2* q2T a3 + q3* q3T a3； 4、注意，比如，这里的q2*q2T a3，这是a3到q2的投影吗？看上去有点不像？其实是，因为q2T q2 = 1，这本应该出现的分母被忽略了; 5、把第3步“ * ”后面的部分提取出来就是R。
Cybsac lego With product rules. ｜A｜｜D- CA-1 B｜=| A (D- CA-1 B) |=|AD - ACA-1 B| 当AC=CA时 ACA-1 B = CAA-1 B = CB 就得出上式了
lego 以下是一些第三章的题目。不知道是不是我的错觉，这一章“有意思”的题目并没有前面两章多，比较多计算题。 PS 3.1: T11:注意一下（a）、（b）的区别（感觉这种找matrix space的基的题目就是在找信息 T24:C(AB) \in C(A)，经常用到的结论，🐎一下 PS 3.2: T59:N（AT A)=N(A)，也是常用结论，🐎一下 PS 3.4: T28:还是找matrix space的基的问题，这里需要多少信息呢 PS 3.5: Page 187讲了CR分解！可能第一次看的时候没把它当回事( ･᷄ὢ･᷅ ) T10：random matrix的rank最有可能是多少？可能需要一些概率相关的知识…… T20（b）：用A的ER分解来找左零空间的基，这个操作🐎一下
lego Bintou 任何矩阵都满足N（AT A)=N(A)吧。如果是对称矩阵的话，A的四大基本子空间和AT 的四大基本子空间相同，不用这个结论应该也能说明A可逆 iff AT 可逆 iff AT A可逆
lego 更新第四章： P.S 4.1: T7:Fredholm's Alternative，想表达的是如果b不在C(A)中，那么在N(AT )中总能找到一个与b内积为1的向量吗 T9:N(AT A)=N(A)的证明 P.S 4.2: page210:The left nullspace is important in projections，感觉这句话挺内涵，🐎一下 T33:Kalman filter T34:如果P1、P2是投影矩阵，P1P2也是投影矩阵iff P1P2=P2P1 P.S 4.3: T21:关于e、p、x\hat的空间关系 P.S 4.4: T6:正交矩阵的乘积也是正交矩阵 T19:分解R=DU,可以证明AT A的pivots是R的对角线上元素的平方（Gram-schmidt on A corresponds to elimination on AT A),补充一个page513的fast orthogonalization，LU分解和QR分解的关系可能比我们想象中的要密切 T25:给出了2x2下的QR分解的公式，前提是det>0 T30:给出了一组wavelet但是没怎么深挖 T34:之前讲reflection的时候我讲错了！！Q=I-2uuT ,u不是mirror，u是垂直于mirror( ･᷄ὢ･᷅ )
lego 越到期末人越浪……跑来更新第五章了嘿嘿嘿。虽然第五章里的很多题目都已经讨论过了 这一章提到了非常多类似于tridiagonal或者对角线上all-zero的矩阵以及它们的determinant的规律，主要集中在det的通项、周期性还有与fibonacci类似的性质吧。 P.S 5.1: T7: 给出了reflection matrix的其他形式 T14:GS老先生偏爱的tridiagonal里的-1，2，-1 matrix，可以推det的通项 T18:Vandermonde determinant，推通项的过程中要用到det的蛮多性质，挺有意思的 P.S 5.2: T15:tridiagonal 1，1，1 matrix，有周期性的determinant T16:determinant有fibonacci性质的1，1，-1 tridiagonal matrix T17:det有类似fibonacci性质的-1，2，-1 tridiagonal T22:det有类似fibonacci性质的1，3，1 tridiagonal（131啊嘿嘿嘿 P.S 5.3: page279 cross product的定义 T20:Hadamard矩阵，传说这是一个很厉害的矩阵（逃
Bintou 矩阵乘法等于Rank One矩阵的Summation, 如图所示： lego 这位同学怎么说的？“不容易发现”。。。 GS老先生怎么说的？“Ifeel like a magician”... 如果我们把上图的a、d设为1，b设为0，c是某个负数比如-c，则看出，这次矩阵乘法只是一次Elimination。 再联系96页43题（Schur complement），这种消元的block操作。 结论，可能我们不容易发现，但我们不应该感觉到陌生。
lego 更新第六章： P.S 6.1: T14:2x2 rotation matrix的eigenvalue通项 T34:这个permutation的eigenvector matrix是4-point discrete Fourier transform matrix嘿嘿嘿 P.S 6.2: T28:对角化的唯一性 T30、31:Cayley-Hamilton Theorem，将矩阵的多项式和eigenvalue的多项式联系在一起 T34:rotation matrix的power T35:对角化的rank-one形式，这题还补充了个在eigenvector matrix X-1 的行空间的left eigenvectors P.S 6.4: page339:给出了2x2对称矩阵的eigenvector的公式嘿嘿嘿 page340:谱定理的rank-one decomposition page343:之前讲过的-1，2，-1矩阵和-1，1，-1矩阵的eigenvector matrix是sine和cosine matrix（虽然我也没懂这个为什么叫sine和cosine matrix，还有那个“discrete sine/cosine transform" T36:对称矩阵的congruent P.S 6.5: page356:Hilbert matirx T35:postive definite的congruent也是positive definite:the crucial matrix in engineering 我感觉线代考完之前我能更到第八章了嘻嘻嘻
